Родился 14 декабря 1921 года в селе Двуречки Липецкого уезда Тамбовской губернии (ныне Грязинский район Липецкой области). В 1928 году семья переехала в Липецк. Учился в школе № 5 города Липецка, после окончания школы начал посещал аэроклуб.
С 1939 года – в рядах Красной Армии. В 1940 году Сергей Гаврилович окончил Борисоглебскую авиационную школу пилотов. С 22 июня 1941 года младший лейтенант С. Г. Литаврин сначала в должности командира звена, затем командира эскадрильи участвовал в боях на Ленинградском фронте.
Он является первым советским лётчиком, вступившим в бой с новейшим на тот момент немецким истребителем «Фокке-Вульф FW-190» и сбившим его в январе 1943 года.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 28 января 1943 года за образцовое выполнение боевых заданий командования на фронте борьбы с немецкими захватчиками и проявленные при этом отвагу и геройство капитану Сергею Гавриловичу Литаврину присвоено высшее военное звание «Герой Советского Союза» с вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда».
В апреле 1944 года молодёжь города Липецка собрала 100 тысяч рублей на постройку истребителя Як-9 «Липецкий комсомолец», который они попросили вручить их земляку – Герою Советского Союза Сергею Гавриловичу Литаврину. Желание липчан было исполнено по личному распоряжению Иосифа Виссарионовича Сталина. В августе 1944-го года в Липецк приехал Сергей Литаврин, которому торжественно был передан новый истребитель Як-9.
За годы войны отважный лётчик совершил 462 боевых вылета, участвовал в 90 воздушных боях, сбил 19 фашистских самолётов и 2 аэростата наблюдения.
За боевые заслуги он также был награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденами Александра Невского и Красной Звезды, медалями, в том числе «За оборону Ленинграда».
После окончания войны продолжил службу в ВВС, был заместителем командира полка. В 1952 году окончил Военно-воздушную академию. Служил заместителем, а затем и командиром авиационной дивизии.
3 февраля 1957 года полковник С. Г. Литаврин погиб в авиакатастрофе. Похоронен на Преображенском кладбище города Липецка.
В честь Сергея Гавриловича Литаврина названы переулок и улица в Липецке.
На мемориальном комплексе на площади Героев на стеле установлен горельеф из металла, посвящённый Сергею Гавриловичу.
Имя Сергея Гавриловича Литаврина выбито на мраморной стене с фамилиями Героев Советского Союза – уроженцев Липецкой области, а также Героев Советского Союза, кровно связанных судьбой с Липецким краем, на площади Героев в Липецке.
Мемориальный музей Героя Советского Союза Сергея Гавриловича Литаврина был открыт в средней школе № 5 в 1984 году. В целях увековечивания памяти Сергея Гавриловича Литаврина в 1984 году на здании средней школы № 5 была установлена мемориальная доска. 7 мая 1985 года средней школе № 5 было присвоено имя Героя Советского Союза Сергея Гавриловича Литаврина.
В 2005 году на доме № 6а по улице Литаврина была установлена мемориальная доска.